Question

【题目】魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图所示），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为．若“牟合方盖”的体积为，则正方体的外接球的表面积为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

根据已知求出正方体的内切球的体积，得到内切球的半径，根据正方体内切球的直径为其棱长，外接球的直径为其对角线，即可求解.

因为“牟合方盖”的体积为，

又正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为，

所以正方体的内切球的体积球，

所以内切球的半径，所以正方体的棱长为2，

所以正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线即，

所以，所以正方体的外接球的表面积为．

故答案为：.