Question

【题目】已知函数.

（1）当时，证明：；

（2）是否存在不相等的正实数m，n满足，且？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）存在，

【解析】

（1）题目等价，设，求导得到单调性，计算最值得到答案.

（2）问题转化为方程有不等于1的正实根，，讨论和，令，求导得到函数单调区间，得到在上存在零点，得到答案.

（1）当时，，即，也即.

令，则.

由得，或（舍去）.

当时，，是减函数；

当时，，是增函数.

所以，所以原不等式成立.

（2）由及得，即.

由于m，n为不相等的正实数.

所以问题转化为关于x的方程有不等于1的正实根.

令，

当时，若，则，

若，则，

所以当时，方程没有不等于1的正实根；

当时，令，得，

当时，，是减函数；当时，，是增函数，所以的最小值为，又.

当，即时，是函数唯一的零点，不符合；

当，即时，，.

令，则，

所以当时，，是减函数，当时，，是增函数，由此，显然.

所以在上存在零点.

当，即时，，

类似地，，，所以在上存在零点.

综上所述，的取值范围是.