Question

【题目】已知中，，，，，分别是，的中点，将沿翻折，得到如图所示的四棱锥，且，设为的中点．

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）取的中点，连接，，得到四边形是平行四边形，得出，，从而，，证得平面，平面，进而利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可得到．

（2）以为坐标原点，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求得向量和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.

（1）取的中点，连接，，可得，且，

所以四边形是平行四边形，所以，

因为，分别是，的中点，所以，

因为，所以，，

又因为，且，平面，

所以平面，所以平面，

因为平面，所以，

因为分别为的中点，故，

所以，又，，所以．

又因为，又，平面，所以平面，

又由平面，所以．

（2）由（1）知：平面，以为坐标原点，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，可得，

在中，，，，

可得，所以，，

所以点到轴的距离为1，

可得，，，，

则，，，

设平面的法向量为，

所以，解得，令，可得，

设直线与平面所成的角为．

则，

即直线与平面所成的角的正弦值为．