Question

【题目】已知椭圆的长轴长为4，右焦点为，且椭圆上的点到点的距离的最小值与最大值的积为1，圆与轴交于两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）动直线与椭圆交于两点，且直线与圆相切，求的面积与的面积乘积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据题意，列出的方程，根据，求出的值即可求解；

（2）联立直线和椭圆方程得到关于的一元二次方程，设，利用韦达定理和弦长公式求出的表达式，利用直线与相切得到的关系式，由题意知，，利用点到直线的距离公式分别求出点到直线的距离，据此即可得到的表达式，利用基本不等式求最值即可求解.

（1）设椭圆的焦距为，则由已知得，

解得，因为，所以，

所以椭圆的方程为.

（2）由得，

，

设，则，

所以

，

因为直线与相切，所以点到直线的距离，即，

所以，由，得，

因为圆与轴交于两点，所以，

所以两点到直线的距离分别为，

所以的面积与的面积乘积为

，

因为，所以.

因此的面积与的面积乘积的取值范围为.