Question

13．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、O分别为BB₁，BC，B₁D₁的中点，求异面直线OB与MN所成角的余弦值．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线OB与MN所成角的余弦值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为2，
则O（1，1，2），B（2，2，0），M（2，2，1），N（1，2，0），
$\overrightarrow{OB}$=（1，1，-2），$\overrightarrow{MN}$=（-1，0，-1），
设异面直线OB与MN所成角为θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{MN}|}{|\overrightarrow{OB}|•|\overrightarrow{MN}|}$=$\frac{1}{\sqrt{6}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴异面直线OB与MN所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．