Question

1．已知sinα+cosα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，α∈（0，π）．
（1）求$\frac{sin2α+2si{n}^{2}α}{1-tanα}$的值．
（1）若cosβ+sinβ=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，β∈（0，π），求角α+β的值．

Answer 1

分析 （1）根据同角的三角函数的关系，得到cosα-sinα=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，化简后再代值计算即可，
（2）根据题意分别求出sin（β+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{1}{2}$，sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，cos（β+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cos（α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，再根据两角的和的正弦公式即可求出sin（α+$\frac{π}{4}$+β+$\frac{π}{4}$）的值，根据诱导公式和反三角函数即可求出．

解答 解：（1）∵sinα+cosα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，α∈（0，π）．
∴2sinαcosα=-$\frac{1}{3}$，
∴（cosα-sinα）²=cos²α+sin²α-2sinαcosα=1+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$，
∴cosα-sinα=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
当cosα-sinα=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，
∴$\frac{sin2α+2si{n}^{2}α}{1-tanα}$=$\frac{2sinα（cosα+sinα）}{\frac{cosα-sinα}{cosα}}$=$\frac{2sinαcosα（cosα+sinα）}{cosα-sinα}$=$\frac{-\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{\sqrt{3}}}$=-$\frac{\sqrt{6}}{18}$，
当cosα-sinα=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，
∴$\frac{sin2α+2si{n}^{2}α}{1-tanα}$=$\frac{2sinα（cosα+sinα）}{\frac{cosα-sinα}{cosα}}$=$\frac{2sinαcosα（cosα+sinα）}{cosα-sinα}$=-$\frac{-\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{\sqrt{3}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{18}$，
（2）∵cosβ+sinβ=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，β∈（0，π），sinα+cosα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴$\sqrt{2}$sin（β+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴sin（β+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{1}{2}$，sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，
∵α∈（0，π），β∈（0，π），
∴cos（β+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cos（α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cos（α+β）=sin（$\frac{π}{2}$+α+β）=sin（α+$\frac{π}{4}$+β+$\frac{π}{4}$）=sin（α+$\frac{π}{4}$）cos（β+$\frac{π}{4}$）+cos（α+$\frac{π}{4}$）sin（β+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$×（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）+（-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）×（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{6}$
∴α+β=arccos（$\frac{\sqrt{2}}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）

点评 本题考查了同角的三角函数的关系，以及两角和差的正弦公式，运算量比较大，属于中档题．