Question

16．已知数列{a_n}的前n项和S_n，a₁=-1，a_n+1+2S_n=3n²+tn-1，其中t是常数．
（1）求数列{a_n+1+a_n}的通项公式；
（2）是否存在t，使得{a_n}成等差数列？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）分n是否是1进行讨论，从而求其通项公式即可；
（2）由a_n+1+a_n=6n-3+t可得a_n+2-a_n=6；从而可知只需使a₂-a₁=3即可说明是等差数列，从而解得．

解答 解：（1）当n=1时，a₂+2a₁=3+t-1，
故a₂+a₁=3+t-1+1=3+t，
当n≥2时，a_n+1+2S_n=3n²+tn-1，
a_n+2S_n-1=3（n-1）²+t（n-1）-1，
故a_n+1-a_n+2a_n=（3n²+tn-1）-（3（n-1）²+t（n-1）-1），
即a_n+1+a_n=（3n²+tn-1）-（3（n-1）²+t（n-1）-1）
=6n-3+t，
经检验，当n=1时，也成立；
故a_n+1+a_n=6n-3+t；
（2）∵a_n+1+a_n=6n-3+t，∴a_n+2-a_n=6；
∴若使数列{a_n}是等差数列，
只需使a₂-a₁=3即可；
∵a₂-a₁=a₂+a₁-2a₁=3+t+2=3，
∴t=-2；
即t=-2时，数列{a_n}是等差数列．

点评 本题考查了学生的化简运算能力及分类讨论的应用．