Question

6．已知数列{a_n}的各项都为正数，且对任意n∈N^*，都有$a_{n+1}^2={a_n}{a_{n+2}}+k$（k为常数）．已知a₁=a，a₂=b（a，b为常数），是否存在常数λ，使得a_n+a_n+2=λa_n+1对任意n∈N^*都成立？若存在．求出λ；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 数列{a_n}的各项都为正数，且对任意n∈N^*，都有$a_{n+1}^2={a_n}{a_{n+2}}+k$（k为常数），a₁=a，a₂=b（a，b为常数），当n=1时，${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{3}+k$，解得${a}_{3}=\frac{{b}^{2}-k}{a}$．可知：存在常数λ=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-k}{ab}$，使得a_n+a_n+2=λa_n+1对任意n∈N^*都成立．由于$a_{n+1}^2={a_n}{a_{n+2}}+k$（k为常数），${a}_{n}^{2}$=a_n-1a_n+1+k，（n≥2）．相减变形可得：$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n-1}+{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，以此类推可得：$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=…=$\frac{{a}_{1}+{a}_{3}}{{a}_{2}}$，即可证明．

解答 解：∵数列{a_n}的各项都为正数，且对任意n∈N^*，都有$a_{n+1}^2={a_n}{a_{n+2}}+k$（k为常数），a₁=a，a₂=b（a，b为常数），
∴当n=1时，${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{3}+k$，即b²=aa₃+k，解得${a}_{3}=\frac{{b}^{2}-k}{a}$．
存在常数λ=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-k}{ab}$，使得a_n+a_n+2=λa_n+1对任意n∈N^*都成立．
下面给出证明：∵$a_{n+1}^2={a_n}{a_{n+2}}+k$（k为常数），∴${a}_{n}^{2}$=a_n-1a_n+1+k，（n≥2）．
∴${a}_{n+1}^{2}-{a}_{n}^{2}$=a_na_n+2-a_n-1a_n+1，
∴${a}_{n+1}^{2}$+a_n-1a_n+1=${a}_{n}^{2}$+a_na_n+2，
∴$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n-1}+{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，
以此类推可得：$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n-1}+{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=…=$\frac{{a}_{1}+{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{a+\frac{{b}^{2}-k}{a}}{b}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-k}{ab}$，
∴a_n+a_n+2=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-k}{ab}$a_n+1对任意n∈N^*都成立．
因此存在常数λ=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-k}{ab}$，使得a_n+a_n+2=λa_n+1对任意n∈N^*都成立．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．