Question

【题目】设 ，若0≤a≤1，n∈N＋且n≥2，求证：f(2x)≥2f(x).

Answer 1

【答案】证明：∵ ，
∴要证f(2x)≥2f(x)，
只要证 ，
即证 (*)
也即证n[12x＋22x＋…＋(n－1)2x＋a·n2x]
≥[1x＋2x＋…＋(n－1)x＋a·nx]2 ，
∵0≤a≤1，∴a＞a2 ， 根据柯西不等式得
n[12x＋22x＋…＋(n－1)2x＋a·n2x]
，
≥[1x＋2x＋…＋(n－1)x＋a·nx]2 ，
即(*)式显然成立，故原不等式成立.
【解析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是将f(2x)＞2f(x)具体化，然后再根据式子的结构特点选择合适的证明方法.
【考点精析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式的相关知识点，需要掌握一般形式的柯西不等式：才能正确解答此题．