Question

15．已知函数f（x）=2^x+k•2^-x（k∈R）为奇函数．
（1）求k的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，证明．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）=2^x+k•2^-x（k∈R）为奇函数．f（0）=0，可得k值；
（2）根据指数函数的单调性，和函数单调性的性质“增-减=增”，可得函数的单调性．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2^x+k•2^-x（k∈R）为奇函数．
∴f（0）=1+k=0，
解得：k=-1，
经检验，当k=-1时，f（x）=2^x-2^-x，满足f（-x）=-f（x）恒成立，
即函数f（x）=2^x-2^-x为奇函数，
故k=-1，
（2）函数f（x）=2^x-2^-x为增函数，理由如下：
由y=2^x为增函数，y=2^-x=$（\frac{1}{2}）^{x}$为减函数，
由函数单调性的性质，可得：f（x）=2^x-2^-x为增函数．

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，难度中档．