Question

4．在等差数列{a_n}中，a₁=1，a₁，a₃，7a₃成等比数列，记数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若S₁、S_m、S₁₆成等比数列，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意可得d的方程，解方程可得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）列项可得$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），可得S_n=$\frac{n}{3n+1}$，由等比数列的可得m的方程，解方程可得．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₁=1，a₁，a₃，7a₃成等比数列，
∴a₃²=a₁•7a₃，∴a₃=7a₁，
∴1+2d=7，解得d=3，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=1+3（n-1）=3n-2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），
∴S_n=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$）=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{3n+1}$）=$\frac{n}{3n+1}$，
∴S₁=$\frac{1}{4}$，S_m=$\frac{m}{3m+1}$，S₁₆=$\frac{16}{49}$，
∵S₁、S_m、S₁₆成等比数列，
∴（$\frac{m}{3m+1}$）²=$\frac{1}{4}$×$\frac{16}{49}$，解得m=2

点评 本题考查等比数列和等差数列，涉及裂项相消法求数列的和，属中档题．