Question

17．定义函数f（x）=2|x+5|-|x+1|，数列a₁，a₂，a₃…满足a_n+1=f（a_n），n∈N^*．若要使a₁，a₂，…a_n，…成等差数列．则a₁的取值范围为（　　）

• A． a₁≥-5
• B． a₁≥-1
• C． a₁≥-1或a₁≤-5
• D． 以上都不对

Answer 1

分析 由绝对值的意义可得f（x）的分段函数式，求得对任意n∈N^*，a_n+1-a_n≥1．{a_n}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，a_n≥-1，再对a₁讨论，①当a₁＜-5时，②若-5≤a₁＜-1，③若a₁≥-1，结合函数式和等差数列的通项，即可得到结论．

解答 解：由已知可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+9，x≥-1}\\{3x+11，-5≤x＜-1}\\{-x-9，x＜-5}\end{array}\right.$，
当a_n≥-1时，a_n+1-a_n=9＞8；
当-5≤a_n＜-1时，a_n+1-a_n=2a_n+11≥2×（-5）+11=1；
当a_n＜-5时，a_n+1-a_n=-2a_n-9＞-2×（-5）-9=1．
∴对任意n∈N^*，a_n+1-a_n≥1．
即a_n+1≥a_n，即{a_n}为无穷递增数列．
又{a_n}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，a_n≥-1，
从而a_n+1=f（a_n）=a_n+9，由于{a_n}为等差数列，
因此公差d=9．
①当a₁＜-5时，则a₂=f（a₁）=-a₁-9，
又a₂=a₁+d=a₁+9，故-a₁-9=a₁+9，即a₁=-9，从而a₂=0，
当n≥2时，由于{a_n}为递增数列，故a_n≥a₂=0＞-1，
∴a_n+1=f（a_n）=a_n+c+8，而a₂=a₁+c+8，故当a₁=-9时，{a_n}为无穷等差数列，符合要求；
②若-5≤a₁＜-1，则a₂=f（a₁）=3a₁+11，又a₂=a₁+d=a₁+9，
∴3a₁+11=a₁+9，得a₁=-1，应舍去；
③若a₁≥-1，则由a_n≥a₁得到a_n+1=f（a_n）=a_n+9，从而{a_n}为无穷等差数列，符合要求．
综上可知：a₁的取值范围为{-9}∪[-1，+∞）．
故选D．

点评 本题综合考查了分类讨论的思想方法、如何去绝对值符号、递增数列、等差数列等基础知识与方法，考查了推理能力和计算能力．