Question

5．如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为a的正方体，有下列说法：
①若点P在△BDC₁所在平面上运动，则三棱锥P-AB₁D₁的体积为定值；
②若点M、N、L分别是棱A₁B₁、A₁D、A₁A上与端点不重合的三个动点，则△MNL必为锐角三角形；
③若点Q为A₁A的中点，点G为正方形A₁B₁C₁D₁（包含边界）内一个动点，且始终满足GQ⊥A₁C，则动点Q的轨迹是以A₁为圆心，$\frac{\sqrt{2}}{3}$a为半径的一段圆弧；
④若M∈线段A₁C（除端点A₁、C外），A₁C⊥平面α截正方体得到的截面是不同的多边形，则这些不同的多边形只能是三角形或六边形，且它们的面积和周长的最大值分别为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$a²和3$\sqrt{2}$a．
其中说法正确的是①②④（写出正确说法的序号）

Answer 1

分析 根据正方体的几何特征，逐一分析和判断四个命题的真假，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为a的正方体，

①若点P在△BDC₁所在平面上运动，则三棱锥P-AB₁D₁的高为定值$\frac{\sqrt{3}}{3}a$，底面AB₁D₁的面积为定值$\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$，故三棱锥P-AB₁D₁的体积为定值$\frac{1}{6}{a}^{3}$，故正确；
②若点M、N、L分别是棱A₁B₁、A₁D、A₁A上与端点不重合的三个动点，则△MNL必为锐角三角形，故正确；
③若点Q为A₁A的中点，点G为正方形A₁B₁C₁D₁（包含边界）内一个动点，且始终满足GQ⊥A₁C，则动点Q的连接A₁B₁，A₁D₁中点的线段，故错误；
④若M∈线段A₁C（除端点A₁、C外），A₁C⊥平面α截正方体得到的截面是不同的多边形，则这些不同的多边形只能是三角形或六边形，
当M落在线段A₁C的中点上时，它们的面积和周长取最大值，分别为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$a²和3$\sqrt{2}$a，故正确．
综上所述，正确的说法是：①④，
故答案为：①②④

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了正方体的几何特征，棱锥的体积，三角形形状的判断，难度中档．