Question

8．双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的右焦点为F，点A（3，1），双曲线上取一点P，则2|PA|+|PF|的最小值为4．

Answer 1

分析 根据题意，算出双曲线的离心率e=2，右准线为l：x=1．作AN⊥l于N，交双曲线右支于P，连结FP，根据圆锥曲线统一定义得到|PA|+$\frac{1}{2}$|PF|=|PA|+|PN|．由平几知识可得：当A、N、P三点共线时，|PA|+|PN|=|AN|达到最小值，由此即可求出点P的坐标和|PA|+$\frac{1}{2}$|PF|的最小值．

解答 解∵双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，
∴a=2，b=2$\sqrt{3}$，c=4，
可得离心率e=2，右准线为l：x=1，
作AN⊥l于N，交双曲线右支于P，连结FP，则
由圆锥曲线统一定义得|PF|=e|PN|=2|PN|，
∴|PN|=$\frac{1}{2}$|PF|，因此，|PA|+$\frac{1}{2}$|PF|=|PA|+|PN|，
当且仅当A、N、P三点共线时，|PA|+|PN|=|AN|达到最小值为|AN|=3-1=2．
∴2|PA|+|PF|的最小值为4．
故答案为：4．

点评 本题着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、圆锥曲线的统一定义等知识，属于中档题．