Question

13．已知扇形AOB的圆心角∠AOB=$\frac{π}{6}$，半径OA=1，在$\widehat{AB}$上有一个动点M，过M作矩形MNPQ，如图，设∠AOM=θ，记矩形MNPQ的面积为S．
（1）求函数S=f（θ）的解析式；
（2）当θ为何值时，S取得最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）在Rt△MOQ中，利用直角三角形中的边角关系求得矩形的底和高，可得关于矩形的面积S的解析式，化简可得结果．
（2）由S的解析式并利用正弦函数的定义域有何值域可得，当2θ+30°=90°时2θ+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，面积S取得最大值．

解答 解：（1）在Rt△MOQ中，MQ=NP=sinθ，OQ=cosθ．
故在Rt△OPN中，OP=$\frac{NP}{tan\frac{π}{6}}=\frac{sinθ}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{3}$sinθ，
所PQ=OQ-OP=cosθ-$\sqrt{3}$sinθ，
则矩形的面积S=f（θ）=PQ•MQ=sinθ（cosθ-$\sqrt{3}$sinθ）=sinθcosθ-$\sqrt{3}$sin²θ
=$\frac{1}{2}$sin2θ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1-cos2θ）
=$\frac{1}{2}$sin2θ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2θ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sin（2θ+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，（0＜θ＜$\frac{π}{6}$）．
（2）∵0＜θ＜$\frac{π}{6}$，∴0＜2θ＜$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$＜2θ+$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
故当2θ+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，S取得最大值，此时S=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查直角三角形中的边角关系，三角函数的恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．