Question

4．若f′（x₀）存在，则$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（{x}_{0}+△x）-f（{x}_{0}-△x）}{△x}$=2f'（x₀）．

Answer 1

分析 先根据导数定义，表示函数f（x）在x₀的导数f'（x₀）=$\frac{1}{2}$$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（{x}_{0}+△x）-f（{x}_{0}-△x）}{△x}$，进而求得原式的值．

解答 解：根据导数的定义，函数f（x）在x₀的导数为：
f'（x₀）=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（{x}_{0}+△x）-f（{x}_{0}-△x）}{（{x}_{0}+△x）-（{x}_{0}-△x）}$
=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（{x}_{0}+△x）-f（{x}_{0}-△x）}{2△x}$
=$\frac{1}{2}$•$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（{x}_{0}+△x）-f（{x}_{0}-△x）}{△x}$，
所以，$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（{x}_{0}+△x）-f（{x}_{0}-△x）}{△x}$=2f'（x₀），
即原式=2f'（x₀），
故答案为：2f'（x₀）．

点评 本题主要考查了极限及其运算，涉及导数的定义和应用，合理的恒等变形是解决本题的关键，属于中档题．