Question

16．已知四面体ABCD的各面均是边长为1的正三角形，设E，G分别为△BCD，△ABC的中心，分别以$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{GC}$，$\overrightarrow{GD}$方向上的单位向量构成一个基底$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{{e}_{3}}$，则向量$\overrightarrow{AE}$的坐标是（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，$\frac{\sqrt{6}}{9}$）．

Answer 1

分析 根据题意，画出图形，结合图形建立空间直角坐标系，以棱长1为一个长度单位，表示出点的坐标，求出向量$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{GC}$、$\overrightarrow{GD}$和$\overrightarrow{AE}$的坐标表示，设$\overrightarrow{AE}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{GC}$+z$\overrightarrow{GD}$，求出对应的x、y、z的值，再化为$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{GC}$和$\overrightarrow{GD}$方向上的单位向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$、$\overrightarrow{{e}_{3}}$即可得出向量$\overrightarrow{AE}$的坐标．

解答 解：根据题意，画出图形，如图所示；
正四面体ABCD的顶点D在底面ABC你的射影是底面△ABC的中心G，以点G为坐标原点，以GA为x轴，GD为z轴，以过点G且平行于CB的限直线为y轴，建立空间直角坐标系，且AB=1，
F是BC的中点，
∴AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴GA=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴GF=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$；
∴GC=GA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，GD=$\sqrt{{1}^{2}{-（\frac{\sqrt{3}}{3}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
∴G（0，0，0），A（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，0），B（-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，$\frac{1}{2}$，0），C（-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，-$\frac{1}{2}$，0），
D（0，0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），E（-$\frac{\sqrt{3}}{9}$，0，$\frac{\sqrt{6}}{9}$），F（-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，0，0）；
∴$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{GC}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，-$\frac{1}{2}$，0），
$\overrightarrow{GD}$=（0，0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），$\overrightarrow{AE}$=（-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$，0，$\frac{\sqrt{6}}{9}$）；
设$\overrightarrow{AE}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{GC}$+z$\overrightarrow{GD}$，x、y、z∈R；
则（-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$，0，$\frac{\sqrt{6}}{9}$）=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{\sqrt{3}}{6}$y，$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$y，$\frac{\sqrt{6}}{3}$z），
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{6}y=-\frac{4\sqrt{3}}{9}}\\{\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y=0}\\{\frac{\sqrt{6}}{3}z=\frac{\sqrt{6}}{9}}\end{array}\right.$，
解得x=y=$\frac{2}{3}$，z=$\frac{1}{3}$；
∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{GC}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{GD}$；
又$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{GC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{GD}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$$\overrightarrow{{e}_{3}}$，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$$\overrightarrow{{e}_{3}}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\frac{2\sqrt{3}}{9}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$+$\frac{\sqrt{6}}{9}$$\overrightarrow{{e}_{3}}$；
∴向量$\overrightarrow{AE}$的坐标是（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，$\frac{\sqrt{6}}{9}$）．
故答案为：（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，$\frac{\sqrt{6}}{9}$）．

点评 本题考查了空间向量的应用问题，也考查了向量的坐标表示与解方程组的应用问题，考查了数形结合的应用问题，是综合性题目．