Question

1．设坐标平面上全部向量集合为A，已知由A到A的映射f由f（x）=x-2（x•$\overrightarrow{a}$）$\overrightarrow{a}$确定，其中x∈A，$\overrightarrow{a}$=（cosθ，sinθ），θ∈R．
（1）当θ的取值范围变化时，f[f（x）]是否变化？试说明你的理由；
（2）若|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{n}$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，f[f（$\overrightarrow{m}$+2$\overrightarrow{n}$）]与f（f（2$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$）]垂直，求$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$的夹角．

Answer 1

分析 （1）将f（f（x））进行化简，看结果是否含有θ；
（2）利用第一问结论脱函数符号进行计算．

解答 解：（1）f（f（x））=x-2（x•$\overrightarrow{a}$）$\overrightarrow{a}$-2[（x-2（x•$\overrightarrow{a}$）$\overrightarrow{a}$）$•\overrightarrow{a}$]$\overrightarrow{a}$=x-2（x•$\overrightarrow{a}$）$\overrightarrow{a}$-2[x$•\overrightarrow{a}$-2（x$•\overrightarrow{a}$）]$\overrightarrow{a}$=x-2（x•$\overrightarrow{a}$）$\overrightarrow{a}$+2（x$•\overrightarrow{a}$）$\overrightarrow{a}$=x，
∴当θ的取值范围变化时，f（f（x））不发生变化．
（2）∵f[f（$\overrightarrow{m}$+2$\overrightarrow{n}$）]=$\overrightarrow{m}+2\overrightarrow{n}$，f（f（2$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$）]=2$\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}$，∴$\overrightarrow{m}+2\overrightarrow{n}$⊥2$\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}$，
即（$\overrightarrow{m}+2\overrightarrow{n}$）•（2$\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}$）=0，∴2$\overrightarrow{m}$²-3$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$-2$\overrightarrow{n}$²=0，解得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$\frac{5}{2}$，
设$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$夹角为θ，则cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=1．∴$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$的夹角为$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查了平面向量的运算化简及数量积运算，注意|$\overrightarrow{a}$|=1是关键．