Question

13．已知函数f（x）=$\frac{a}{2}$+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$是奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断f（x）的单调性，并用定义加以证明；
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）直接根据奇函数的性质f（0）=0，求出a，再进行验证；
（2）先判断函数单调递减，再利用函数单调性的定义用作差比较法证明；
（3）根据指数函数的性质得出函数f（x）的值域．

解答 解：（1）因为f（x）为奇函数，所以f（0）=0，
即$\frac{a}{2}$+$\frac{2}{2}$=0，解得a=-2，
此时，f（x）=$\frac{1-2^x}{1+2^x}$，再验证如下：
f（x）+f（-x）=$\frac{1-2^x}{1+2^x}$+$\frac{1-{2}^{-x}}{1+{2}^{-x}}$=$\frac{1-2^x}{1+2^x}$-$\frac{1-2^x}{1+2^x}$=0，
所以，f（x）为定义域上的奇函数；
（2）因为f（x）=$\frac{2}{2^x+1}$-1，
所以，f（x）为R上的减函数，证明如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=2[$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}$]=2×$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$，
以为，x₁＜x₂，所以f（x₁）＞f（x₂），
因此，f（x）为（-∞，+∞）上的单调递减函数；
（3）因为f（x）=$\frac{2}{2^x+1}$-1，
其中，2^x+1∈（1，+∞），所以，$\frac{2}{2^x+1}$∈（0，2），
所以，f（x）∈（-1，1），
因此，f（x）的值域为：（-1，1）．

点评 本题主要考查了对数函数的图象与性质的综合应用，涉及函数的奇偶性，单调性，以及函数值域的解法，属于中档题．