Question

4．设函数$f（x）={log_2}（1+a•{2^x}+{4^x}）$，其中a为常数
（1）当f（2）=f（1）+2时，求a的值；
（2）当x∈[1，+∞）时，关于x的不等式f（x）≥x-1恒成立，试求a的取值范围；
（3）若a∈R，试求函数y=f（x）的定义域．

Answer 1

分析 （1）直接代入，解方程即可；
（2）不等式可整理为$a≥-{2^x}-\frac{1}{2^x}+\frac{1}{2}$，只需求出右式的最大值即可．利用换元法令t=2^x，t∈[2，+∞）
得出$h（t）=-t-\frac{1}{t}+\frac{1}{2}$，根据定义法判断函数的单调性，进而求出函数的最大值；
（3）利用换元法m=2^x（m＞0）即m²+a•m+1＞0，对二次不等式m²+a•m+1＞0分类讨论，求出函数的定义域即可．

解答 解：（1）．f（2）=f（1）+2⇒log₂（1+4a+16）=log₂（1+2a+4）+log₂4⇒log₂（17+4a）=log₂4（5+2a）⇒17+4a=20+8a⇒$a=-\frac{3}{4}$…（3分）
（2）${log_2}（1+a•{2^x}+{4^x}）≥x-1={log_2}{2^{x-1}}$1+a•2^x+4^x≥2^x-1⇒$a≥-{2^x}-\frac{1}{2^x}+\frac{1}{2}$
令t=2^x∵x∈[1，+∞）∴t∈[2，+∞）
设$h（t）=-t-\frac{1}{t}+\frac{1}{2}$，2≤t₁＜t₂
∴$h（{t_1}）-h（{t_2}）=-{t_1}-\frac{1}{t_1}+{t_2}+\frac{1}{t_2}=（{t_2}-{t_1}）•\frac{{{t_1}{t_2}-1}}{{{t_1}{t_2}}}$
∵（t₂-t₁）＞0，t₁t₂-1＞0，t₁t₂＞0
∴h（t₁）＞h（t₂）
∴h（t）在[2，+∞）上为减函数，
∴t=2时，$y=-t-\frac{1}{t}+\frac{1}{2}$有最大值为-2
∴a≥-2…（8分）
（3）1+a•2^x+4^x＞0⇒
令m=2^x（m＞0）即m²+a•m+1＞0
①当△=a²-4＜0⇒-2＜a＜2m∈R⇒x∈R
②当△=a²-4=0⇒a=2或a=-2
若a=2，（m+1）²＞0又m＞0⇒x∈R
若a=-2，（m-1）²＞0又m≠1⇒x∈{x|x≠0，x∈R}
③当△=a²-4＞0⇒a＞2或a＜-2
设g（m）=m²+a•m+1而g（0）=1＞0
若a＞2，$-\frac{a}{2}＜-1$而m＞0⇒x∈R
若a＜-2，$-\frac{a}{2}＞1$而m＞0⇒$0＜m＜\frac{{-a-\sqrt{{a^2}-4}}}{2}或m＞\frac{{-a+\sqrt{{a^2}-4}}}{2}$⇒${2^x}＜\frac{{-a-\sqrt{{a^2}-4}}}{2}或{2^x}＞\frac{{-a+\sqrt{{a^2}-4}}}{2}$⇒$x＜{log_2}\frac{{-a-\sqrt{{a^2}-4}}}{2}或x＞{log_2}\frac{{-a+\sqrt{{a^2}-4}}}{2}$
综上：①当a＞-2时 f（x）定义域为R
②当a≤-2时f（x）定义域为$（-∞，{log_2}\frac{{-a-\sqrt{{a^2}-4}}}{2}）∪（{log_2}\frac{{-a+\sqrt{{a^2}-4}}}{2}，+∞）$…（14分）

点评 考查了利用换元法和根据函数单调性判断函数的最值，对复合函数，利用对二次不等式的分类讨论求函数的定义域问题．难点是分类讨论．