Question

已知函数f（x）＝lnx－a²x²＋ax（aR）.
（l）当a＝1时，证明：函数f（x）只有一个零点；
（2）若函数f(x)在区间（1，十）上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）

解析试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性及最值问题等数学知识，考查学生的转化能力、分析问题解决问题的能力和计算能力，考查分类讨论思想.第一问，将代入确定的解析式，先求函数的定义域，这是解题的前题，函数只有一个零点等价于图像与x轴只有一个交点，对求导，利用，判断函数的增减区间，判断出当时，，从而证明出图像与x轴只有一个交点；第二问，对中的参数a进行讨论，当时，与题干矛盾，当时，得到的减区间为，由题干分析可知，是的子集，所以得到和1的大小关系，当时，同理得到与1的大小，从而综合上述情况得到a的取值范围.
试题解析：(1)当a＝1时，f(x)＝lnx－x²＋x，其定义域是(0，＋∞)，
又，
令f′(x)＝0，即，解得或x＝1.又x>0，∴x＝1.
当0＜x＜1时，f′(x)＞0；当x＞1时，f′(x)＜0.
∴函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．
∴当x＝1时，函数f(x)取得最大值，其值为f(1)＝ln1－1²＋1＝0.
当x≠1时，f(x)＜f(1)，即f(x)＜0.
∴函数f(x)只有一个零点.（7分）
(2)显然函数f(x)＝lnx－a²x²＋ax的定义域为(0，＋∞)，
∴.
①当a＝0时，，∴f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，不合题意；
②当a>0时，f′(x)＜0，得，∴，即a≥1；
③当a<0时，f′(x)＜0，得，∴，a≤－2(1).
综上，实数a的取值范围是.（14分）
考点：1.函数零点问题；2.利用导数研究函数的单调性；3.利用导数求函数的最值.