Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且b=2

2

，（3a-c）•cosB=b•cosC．
（1）求角cosB的大小；
（2）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由已知及正弦定理可得

cosC

cosB

=

3sinA-sinC

sinB

，由两角和的正弦公式化简可得cosB=

1

3

．
（2）由已知及（1）可求sinB，由余弦定理可得ac≤6，由三角形面积公式即可求最大值．

解答： 解：（1）由正弦定理可得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，
所以由已知可得：（3a-c）•cosB=b•cosC．
⇒

cosC

cosB

=

3sinA-sinC

sinB

⇒sinBcosC=3sinAcosB-cosBsinC
⇒sinBcosC+cosBsinC=3sinAcosB
⇒sin（B+C）=3sinAcosB
⇒sinA=3sinAcosB
⇒cosB=

1

3

．
（2）∵b=2

2

，cosB=

1

3

，sinB=

1-cos2B

=

2 2

3

，
∵由余弦定理：b²=a²+c²-2accosB，
∴可得：8=a²+c²-

2

3

ac≥2ac-

2

3

ac=

4

3

ac，
∴解得：ac≤6，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB≤

1

2

×6×

2 2

3

=2

2

．

点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，考查了两角和的正弦公式的应用，属于基本知识的考查．