Question

已知两个命题p：sinx+cosx＞m，q：x²+mx+1＞0．如果对?x∈R，p和q中有且仅有一个是真命题．求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：若命题p是真命题：则?x∈R，m＜

2

sin(x+

π

4

)，可得m＜-

2

．若命题q是真命题：则?x∈R，△＜0，解得m．如果对?x∈R，p和q中有且仅有一个是真命题．即可得出．

解答： 解：若命题p是真命题：则?x∈R，m＜

2

sin(x+

π

4

)，可得m＜-

2

．
若命题q是真命题：则?x∈R，x²+mx+1＞0．△=m²-4＜0，解得-2＜m＜2．
如果对?x∈R，p和q中有且仅有一个是真命题．
∴

m＜- 2 m≤-2或m≥2

或

m≥- 2 -2＜m＜2

，
解得m≤-2或-

2

≤m＜2．
则实数m的取值范围是m≤-2或-

2

≤m＜2．

点评：本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系、三角函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．