Question

在平面直角坐标系中，定义：一条直线经过一个点（x，y），若x，y都是整数，就称该直线为完美直线，这个点叫直线的完美点，若一条直线上没有完美点，则就称它为遗憾直线．现有如下几个命题：
①如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b一定是遗憾直线；
②“直线y=kx+b是完美直线”的充要条件是“k与b都是有理数”；
③存在恰有一个完美点的完美直线；
④完美直线l经过无穷多个完美点，当且仅当直线l经过两个不同的完美点．
其中正确的命题是

 

．（写出所有正确命题的编号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：直线与圆,简易逻辑

分析：①不正确，如果取k=

3

，b=

3

，那么直线y=

3

x+

3

经过完美点（-1，0），是完美直线；
②由①知当k=b=

3

时，k与b均为无理数，但是直线y=

3

x+

3

是完美直线，即可判断出正误；
③设直线方程为y=

5

x，只经过了一个完美点（0，0），即可判断出正误；
④，设y=kx为过原点的完美直线，若此直线l过不同的完美点（x₁，y₁）和（x₂，y₂），可得（x₁-x₂，y₁-y₂）也在完美直线y=kx上，且（x₁-x₂，y₁-y₂）也为完美点，通过这种方法得到直线l经过无穷多个完美点．

解答： 解：对于①，如果取k=

3

，b=

3

，那么直线y=

3

x+

3

经过完美点（-1，0），是完美直线，所以①错误；
对于②，由①知当k=b=

3

时，k与b均为无理数，但是直线y=

3

x+

3

是完美直线，所以②错误；
对于③，设直线方程为y=

5

x，只经过了一个完美点（0，0），所以③正确；
对于④，设y=kx为过原点的完美直线，若此直线l过不同的完美点（x₁，y₁）和（x₂，y₂），把两点代入完美直线l的方程得y₁=kx₁，y₂=kx₂，两式相减得y₁-y₂=k（x₁-x₂），则（x₁-x₂，y₁-y₂）也在完美直线y=kx上，且（x₁-x₂，y₁-y₂）也为完美点，通过这种方法得到直线l经过无穷多个完美点，所以④正确．
故答案为：③④．

点评：本题考查了新定义“完美直线”、通过举反例否定一个命题的方法，考查了推理能力，属于中档题．