Question

已知圆O以原点为圆心，且过A（2

2

，1）
（1）求圆O的方程；
（2）求圆O关于直线x+y=2对称的圆的方程；
（3）经过点P（3，1）且与圆O相切的直线方程
（4）若直线x+2y+c=0与圆O相交所截得的弦长是

12 5

5

，求c．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）求出圆的半径，可得圆的方程；
（2）求出圆O关于直线x+y=2对称点坐标，可得圆的方程；
（3）分类讨论，利用直线到圆的距离等于半径，可得直线方程；
（4）求出圆心到直线x+2y+c=0的距离，利用直线x+2y+c=0与圆O相交所截得的弦长是

12 5

5

，可求c．

解答： 解：（1）∵圆O以原点为圆心，且过A（2

2

，1）
∴r=3，
∴圆的方程为x²+y²=9---------（3分）
（2）圆O关于直线x+y=2对称点坐标为（2，2）--------------（6分）
∴圆的方程为（x-2）²+（y-2）²=9--------------（7分）
（3）当过点P的切线斜率存在时，设所求切线的斜率为k，------（8分）
由点斜式可得切线方程为y-1=k（x-3），即kx-y-3k+1=0，----（9分）
∴k2+1=3，解得k=-3．
故所求切线方程为-3x-y+4+1=0，即4x+3y-15=0．----（10分）
当过点P的切线斜率不存在时，方程为x=3，也满足条件．
故所求圆的切线方程为4x+3y-15=0或x-3=0．-----（11分）
（4）圆心到直线x+2y+c=0的距离d=

|c|

5

，
∵直线x+2y+c=0与圆O相交所截得的弦长是

12 5

5

，
∴2

9- c2 5

=

12 5

5

，…（13分）
∴c=±3．…（14分）

点评：本题考查直线与圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．