Question

已知函数f（x）及其导数f′（x），若存在x₀，使得f′（x₀）=f（x₀），则称x₀是f（x）的一个“和谐点”，下列函数中①f（x）=x²；②f（x）=

1

ex

；③f（x）=lnx；④f（x）=x+

1

x

，存在“和谐点”的是（　　）

• A、①②
• B、①④
• C、①③④
• D、②③④

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：分别求函数的导数，根据条件f（x₀）=f′（x₀），确实是否有解即可．

解答： 解：①中的函数f（x）=x²，f'（x）=2x．要使f（x）=f′（x），则x²=2x，解得x=0或2，可见函数有和谐点；
对于②中的函数，要使f（x）=f′（x），则e^-x=-e^-x，由对任意的x，有e^-x＞0，可知方程无解，原函数没有和谐点；
对于③中的函数，要使f（x）=f′（x），则lnx=

1

x

，由函数f（x）=lnx与y=

1

x

的图象它们有交点，因此方程有解，原函数有和谐点；
对于④中的函数，要使f（x）=f′（x），则x+

1

x

=1-

1

x2

，即x³-x²+x+1=0，
设函数g（x）=x³-x²+x+1，g'（x）=3x²-2x+1＞0且g（-1）＜0，g（0）＞0，
显然函数g（x）在（-1，0）上有零点，原函数有和谐点．
故答案为：①③④
故选：C

点评：本题主要考查导数的应用，以及函数的方程的判断，对于新定义问题，关键是理解其含义，本题的本质是方程有无实根问题．