Question

已知数列{a_n}的通项公式a_n=-n²+13n-

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．当a₁a₂a₃+a₂a₃a₄+a₃a₄a₅+…+a_na_n+1a_n+2取得最大值时，n的值为（　　）

• A、7
• B、8
• C、9
• D、10

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由a_n=-n²+13n-

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≥0，得数列{a_n}的前3项均为负数，第4项到第9项均为正数，从第10项（含第10项）开始，全为负数，由此能求出当a₁a₂a₃+a₂a₃a₄+a₃a₄a₅+…+a_na_n+1a_n+2取得最大值时，n的值为9．

解答： 解：由a_n=-n²+13n-

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≥0，
解得3.5≤n≤9.5，
∴数列{a_n}的前3项均为负数，第4项到第9项均为正数，
从第10项（含第10项）开始，全为负数，
∴当n=1时，a_na_n+1a_n+2＜0，当2≤n≤9时，a_na_n+1a_n+2＞0，
当n≥10时，a_na_n+1a_n+2＜0，
又|a₁₁|＞|a₈|，∴S₉＞S₇，
∴当a₁a₂a₃+a₂a₃a₄+a₃a₄a₅+…+a_na_n+1a_n+2取得最大值时，n的值为9．
故选：C．

点评：本题考查数列的前n项的若干项乘积之和取最大值时，项数n的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列中各项符号的合理运用．