Question

如图，?ABCD中，

AB

=

a

，

AD

=

b

，
（1）用

a

、

b

表示

AC

、

DB

；
（2）当

a

、

b

满足什么条件时，表示

a

+

b

与

a

-

b

的有向线段所在的直线互相垂直？
（3）当

a

、

b

满足什么条件时，|

a

+

b

|=|

a

-

b

|．
（4）

a

+

b

与

a

-

b

有可能为相等向量吗？为什么？

Answer 1

考点：向量的几何表示

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用向量的平行四边形法则、三角形法则即可得出；
（2）当|

a

|=|

b

|时，即平行四边形ABCD为菱形时，对角线相互垂直，即可得出；
（3）当

a

⊥

b

或

a

•

b

=0时，即平行四边形ABCD为矩形时，对角线相相等，即可得出．
（4）

a

+

b

与

a

-

b

不可能为相等向量，平时四边形的对角线不共线．

解答： 解：（1）∵

AB

=

a

，

AD

=

b

，
∴

AC

=

AB

+

AD

=

a

+

b

，

DB

=

AB

-

AD

=

a

-

b

．
（2）当|

a

|=|

b

|时，即平行四边形ABCD为菱形时，对角线相互垂直，即表示

a

+

b

与

a

-

b

的有向线段所在的直线互相垂直；
（3）当

a

⊥

b

或

a

•

b

=0时，即平行四边形ABCD为矩形时，对角线相相等，即|

a

+

b

|=|

a

-

b

|．
（4）

a

+

b

与

a

-

b

不可能为相等向量，因为它们不共线．

点评：本题考查了向量的平行四边形法则、三角形法则、平行四边形菱形矩形的性质、共线向量，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力，属于基础题．