Question

已知椭圆和双曲线右公共焦点F₁、F₂，P是它们的一个公共点，且∠F₁PF₂=

π

3

，若双曲线的离心率为

3

，则椭圆的离心率为（　　）

• A、

  3

  3

• B、

  3

  2

• C、

  1

  3

• D、

  3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,椭圆的简单性质

专题：解三角形,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用椭圆、双曲线的定义，求出|PF₁|，|PF₂|，结合∠F₁PF₂=

π

3

，利用余弦定理，建立方程，即可求出椭圆的离心率e．

解答： 解：设椭圆的长半轴长为a₁，双曲线的实半轴长为a₂，焦距为2c，
|PF₁|=m，|PF₂|=n，且不妨设m＞n，椭圆的离心率为e，
由m+n=2a₁，m-n=2a₂得m=a₁+a₂，n=a₁-a₂．
又∠F₁PF₂=

π

3

，
由余弦定理可得4c²=m²+n²-2mncos

π

3

=m²+n²-mn=a₁²+3a₂²，
∴

a12

c2

+

3a22

c2

=4，即

1

e2

+

3

( 3 )2

=4，
解得e=

3

3

．
故选：A．

点评：本题考查椭圆、双曲线的定义与性质，考查离心率公式和余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．