Question

17．已知函数$f（x）=a-\frac{1}{|x|}（a≠0）$．
（1）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若函数y=f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，得a＜$\frac{1}{x}$+2x．记g（x）=$\frac{1}{x}$+2x，在（1，+∞）上是增函数，得g（x）＞g（1）=3，由此能求出a的范围．
（2）函数y=f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），再由n＞m＞0和0＞n＞m两种情况分别讨论实数a的取值范围．

解答 解：（1）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，
得a-$\frac{1}{x}$＜2x即a＜$\frac{1}{x}$+2x，
记g（x）=$\frac{1}{x}$+2x，在（1，+∞）上是增函数，
得g（x）＞g（1）=3，
所以：a≤3
（2）函数y=f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
ⅰ）当n＞m＞0时，f（x）在[m，n]上是增函数，
故$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，解得：a＞2；
ⅱ） 当0＞n＞m时，f（x）在[m，n]上是减函数，
故$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=n}\\{f（n）=m}\end{array}\right.$，解得：a=0；
所以：a∈{0}∪（2，+∞）．

点评 本题考查函数的单调性质的应用，解题时要认真审题，仔细求解，注意合理地进行等价转化．