Question

5．一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的体积为$4\sqrt{3}π$．

Answer 1

分析 根据三视图知几何体是四棱锥为棱长为2的正方体一部分，画出直观图，由正方体的性质求出外接球的半径，由球的体积公式求出即可．

解答 解：根据三视图知几何体是：
四棱锥P-ABCD是棱长为2正方体一部分，
直观图如图所示：
则四棱锥P-ABCD的外接球是此正方体的外接球，
设外接球的半径是R，
由正方体的性质可得，2R=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}+{2}^{2}}$，解得R=$\sqrt{3}$，
所以该棱锥的外接球的体积V=$\frac{4}{3}π×{R}^{3}$=$4\sqrt{3}π$，
故答案为：$4\sqrt{3}π$．

点评 本题考查由三视图求几何体外接球的体积，在三视图与直观图转化过程中，以一个正方体为载体是很好的方式，使得作图更直观，考查空间想象能力．