Question

8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，右顶点为A，下顶点为B，点P（$\frac{3}{4}$，0）满足|PA|=|PB|．
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）不垂直于坐标轴的直线l与椭圆C交于M，N两点，以MN为直径的圆过原点，且线段MN的垂直平分线过点P，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和点满足方程及a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线l的方程设为y=kx+t，设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），联立椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以AB为直径的圆过坐标原点，则有$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，x₁x₂+y₁y₂=0，代入化简整理，再由两直线垂直的条件，解方程可得k，进而得到所求直线方程．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则a²=4b²，
由|PA|=a-$\frac{3}{4}$，|PB|=$\sqrt{{b}^{2}+（\frac{3}{4}）^{2}}$，
|PA|=|PB|．即a-$\frac{3}{4}$=$\sqrt{{b}^{2}+（\frac{3}{4}）^{2}}$，
解得：a=2，b=1，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）设直线l的方程设为y=kx+t，设M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，消去y得（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0，
则有x₁+x₂=$\frac{-8kt}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{t}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
由△＞0，可得4k²+1＞t²，
y₁+y₂=kx₁+t+kx₂+t=k（x₁+x₂）+2t=$\frac{2t}{1+4{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=k²x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²=k²•$\frac{4{t}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$+kt•$\frac{-8kt}{1+4{k}^{2}}$+t²=$\frac{{t}^{2}-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
因为以AB为直径的圆过坐标原点，
所以$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即为x₁x₂+y₁y₂=0，
即为$\frac{4{t}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$+$\frac{{t}^{2}-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=0，可得5t²=4+4k²，①
由4k²+1＞t²，可得t＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$或t＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又设AB的中点为D（m，n），则m=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{-4kt}{1+4{k}^{2}}$，n=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{t}{1+4{k}^{2}}$，
因为直线PD与直线l垂直，所以k_PD=-$\frac{1}{k}$=$\frac{0-n}{\frac{3}{4}-m}$=$\frac{-\frac{t}{1+4{k}^{2}}}{\frac{3}{4}+\frac{4kt}{1+4{k}^{2}}}$，可整理得：t=-$\frac{1+4{k}^{2}}{4k}$②
解得：k²=$\frac{1}{4}$，k²=$\frac{5}{4}$，
当k=$\frac{1}{2}$时，t=-1，当k=-$\frac{1}{2}$，t=1，
当k=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，t=-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
当k=-$\frac{\sqrt{5}}{2}$，t=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
满足△＞0，
所以直线l的方程为y=$\frac{1}{2}$x-1，y=-$\frac{1}{2}$x+1，y=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，y=-$\frac{\sqrt{5}}{2}$x+$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的运用和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查圆的性质：直径所对的圆周角为直角，考查直线垂直的条件和直线方程的求法，属于中档题．