Question

已知f（x）=sinxcosx-，x∈[0，π]，函数g（x）=f（x）-m有两个不相等的零点．
（1）求m的取值范围；
（2）求函数g（x）的两零点之和．

Answer 1

解：（1）=． 又x∈[0，π]，故．
在同一坐标系中，作出函数y=sinu的图象和直线y=m的图象．如图易知，
两图象有两个公共点时，m的取值范围为∪．
又由于是单调函数，x与u是一一对应，故上述范围即为所求．

（2）由图知，直线y=分函数y=sinu图象成上下两部分，上、下两部分的图象分别关于直线u=
与u=对称，故函数g（x）的两零点之和须分两种情况讨论求解，即分与．
当时，函数y=sinu的图象为直线y=的上面部分，它关于直线u=对称，
于是sinu=m的两根之和为：u₁+u₂=2×=π，从而函数g（x）的两零点之和为：=；
当时，函数y=sinu的图象为直线y=的下面部分，它关于直线u=对称，
于是sinu=m的两根之和为：u₁+u₂=2×=3π，从而函数g（x）的两零点之和为：=．
综上所述，函数两零点之和为或．
分析：（1）化简 f（x）=，在同一坐标系中，作出函数y=sinu的图象和直线y=m的图象，
如图易知，满足条件的 m的取值范围为∪．
（2）当时，函数y=sinu的图象关于直线u=对称，g（x）的两零点之和为：=；当时，函数y=sinu的图象关于直线u=对称，
函数g（x）的两零点之和为：=．
点评：本题考查两角和差的正弦公式，正弦函数的单调性，对称性，体现了数形结合的数学思想，在同一坐标系中，作出函数y=sinu的图象和直线y=m的图象，是解题的关键．