Question

3．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$\frac{c}{b}$+$\frac{b}{c}$=$\frac{5cosA}{2}$，则$\frac{tanA}{tanB}$+$\frac{tanA}{tanC}$等于$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知可得$\frac{{c}^{2}+{b}^{2}}{bc}$=$\frac{5cosA}{2}$①，由余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$②，解得：b²+c²=5a²，代入①可得cosA=$\frac{2{a}^{2}}{bc}$③，由正弦定理及同角三角函数基本关系的运用化简所求即可得解．

解答 解：∵$\frac{c}{b}$+$\frac{b}{c}$=$\frac{{c}^{2}+{b}^{2}}{bc}$=$\frac{5cosA}{2}$①，由余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$②，
∴$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2}$=$\frac{2（{c}^{2}+{b}^{2}）}{5}$，解得：b²+c²=5a²，代入①可得cosA=$\frac{2{a}^{2}}{bc}$③，
∵由正弦定理可得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
∴在锐角△ABC中，$\frac{tanA}{tanB}$+$\frac{tanA}{tanC}$=$\frac{sinAcosB}{cosAsinB}+\frac{sinAcosC}{cosAsinC}$=$\frac{sinAcosBsinC+sinAsinBcosC}{cosAsinBsinC}$=$\frac{si{n}^{2}A}{cosAsinBsinC}$=$\frac{{a}^{2}}{bc•cosA}$=$\frac{{a}^{2}}{bc×\frac{2{a}^{2}}{bc}}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系的运用，属于基本知识的考查．