Question

15．函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+8-$\frac{a}{x}$）在区间[1，+∞）单调递减，则实数a的取值范围是[-1，+∞）．

Answer 1

分析 利用换元法结合复合函数单调性之间的关系进行求解即可．

解答 解：设t=g（x）=x+8-$\frac{a}{x}$，则y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$t为减函数，
若f（x）在区间[1，+∞）单调递减，
则等价为g（x）=x+8-$\frac{a}{x}$在区间[1，+∞）单调递增，
即g′（x）≥0在[1，+∞）上成立，
即g′（x）=1+$\frac{a}{{x}^{2}}$≥0，即$\frac{a}{{x}^{2}}$≥-1，
则a≥-x²，
∵当x≥1时，-x²≤-1，
∴a≥-1，
即实数a的取值范围是[-1，+∞）
故答案为：[-1，+∞）．

点评 本题主要考查函数单调性的应用，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．