Question

设曲线y=（ax﹣1）e^x在点A（x₀，y₁）处的切线为l₁，曲线y=（1﹣x）e^﹣x在点B（x₀，y₂）处的切线为l₂．若存在，使得l₁⊥l₂，则实数a的取值范围为         ．

Answer 1

试题分析：根据曲线方程分别求出导函数，把A和B的横坐标x₀分别代入到相应的导函数中求出切线l₁和切线为l₂的斜率，然后根据两条切线互相垂直得到斜率乘积为﹣1，列出关于等式由解出，然后根据为减函数求出其值域即可得到a的取值范围．
函数y=（ax﹣1）e^x的导数为y′=（ax+a﹣1）e^x，
∴l₁的斜率为，
函数y=（1﹣x）e^﹣x的导数为y′=（x﹣2）e^﹣x
∴l₂的斜率为，
由题设有k₁•k₂=﹣1从而有
∴a（x₀²﹣x₀﹣2）=x₀﹣3
∵得到x₀²﹣x₀﹣2≠0，所以，
又a′=，另导数大于0得1＜x₀＜5，
故在（0，1）是减函数，在（1，）上是增函数，
x₀=0时取得最大值为=；
x₀=1时取得最小值为1．
∴
点评：此题是一道综合题，考查学生会利用导数求切线的斜率，会求函数的值域，掌握两直线垂直时斜率的关系