如图,焦距为的椭圆的两个顶点分别为和,且与n,共线.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与椭圆有两个不同的交点和,且原点总在以为直径的圆的内部,
求实数的取值范围.
(1) ;(2).
解析试题分析:(1)根据椭圆方程写出顶点的坐标,然后写出的坐标,利用两向量共线的充要条件:,得与的关系,结合,解出与,求出椭圆的方程;(2)设直线,与椭圆有两个不同的交点和,设,将直线方程代入椭圆方程,消去,得到关于的方程,由两个不同交点,,并且得到与,原点总在以为直径的圆的内部,为钝角,即,整理,代入根与系数的关系,比较得出的取值范围.
试题解析:(1)解:设椭圆的标准方程为,由已知得,,,,所以,,
因为与n,共线,所以, 2分
由,解得,,
所以椭圆的标准方程为. 4分
(2)解:设,,,,把直线方程代入椭圆方程,
消去,得,
所以,, 8分
,即 (*) 9分
因为原点总在以为直径的圆的内部,
所以,即, 10分
又,
由得, 13分
依题意且满足(*)得
故实数的取值范围是,. 14分
考点:1.椭圆的性质与方程;2.向量共线的充要条件;3.直线与椭圆相交.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A在椭圆C上,·=0,3||·||=-5·,||=2,过点F2且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P,Q两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)线段OF2(O为坐标原点)上是否存在点M(m,0),使得·=·?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,说明理由.
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设,分别是椭圆:的左、右焦点,过作倾斜角为的直线交椭圆于,两点, 到直线的距离为,连结椭圆的四个顶点得到的菱形面积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆的左顶点作直线交椭圆于另一点, 若点是线段垂直平分线上的一点,且满足,求实数的值.
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如图所示,已知椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F2(1,0),点A在椭圆上.
(1)求椭圆方程;
(2)点M(x0,y0)在圆x2+y2=b2上,点M在第一象限,过点M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P、Q两点,问||+||+||是否为定值?如果是,求出该定值;如果不是,说明理由.
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已知椭圆的焦点坐标为F1(-1,0),F2(1,0),过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P,Q两点,且|PQ|=3.
(1)求椭圆的方程;
(2)过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M,N,则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
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已知抛物线的焦点为双曲线的一个焦点,且两条曲线都经过点.
(1)求这两条曲线的标准方程;
(2)已知点在抛物线上,且它与双曲线的左,右焦点构成的三角形的面积为4,求点 的坐标.
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已知椭圆C的中心在原点,焦点在轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形F1B1 F2B2是一个面积为8的正方形.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点P的坐标为P(-4,0), 过P点的直线L与椭圆C相交于M、N两点,当线段MN的中点G落在正方形内(包含边界)时,求直线L的斜率的取值范围.
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已知△的两个顶点的坐标分别是,,且所在直线的斜率之积等于.
(1)求顶点的轨迹的方程,并判断轨迹为何种圆锥曲线;
(2)当时,过点的直线交曲线于两点,设点关于轴的对称点为(不重合), 试问:直线与轴的交点是否是定点?若是,求出定点,若不是,请说明理由.
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已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,P是椭圆上一点,且面积的最大值等于2.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线y=2上是否存在点Q,使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由。
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