精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

已知椭圆C的中心在原点,焦点在轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形F1B1 F2B2是一个面积为8的正方形.

(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点P的坐标为P(-4,0), 过P点的直线L与椭圆C相交于M、N两点,当线段MN的中点G落在正方形内(包含边界)时,求直线L的斜率的取值范围.

(1);(2)

解析试题分析:(1)依题意需要求椭圆的标准方程,所以要找到两个关于基本量的等式,由以及面积的关系可求椭圆的方程.
(2)由于直线与椭圆的相交得到的弦的中点坐标,可通过假设直线方程与椭圆的方程联立可求得,判别式要大于零.其中用直线的斜率表示中点坐标.由于中点在正方形内,其实就是要符合一个不等式的可行域问题.因此通过解不等式即可得到所求的结论.
试题解析:(1)求得椭圆C的方程为;;
(2)∵点P的坐标为(-4,0),显然直线L的斜率k存在,
∴直线L方程为 如图设点M、N的坐标分别为,
线段MN的中点为,由
由△>0解得:      又
, ∵, ∴点G不可能在y轴的右边,
又直线F1B2, F1B1的方程分别为.
∴点G在正方形B1F2B1F1内的充要条件为:    即
.
考点:1.椭圆的性质.2.直线与椭圆的位置关系.3.线性规划的知识.4.韦达定理.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知椭圆C=1(ab>0)的离心率为,一条准线lx=2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设O为坐标原点,Ml上的点,F为椭圆C的右焦点,过点FOM的垂线与以OM为直径的圆D交于PQ两点.
①若PQ,求圆D的方程;
②若Ml上的动点,求证点P在定圆上,并求该定圆的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).

(1)求抛物线C的方程;
(2)过点F作直线交抛物线CAB两点.若直线AOBO分别交直线lyx-2于MN两点,求|MN|的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,焦距为的椭圆的两个顶点分别为,且与n共线.

(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与椭圆有两个不同的交点,且原点总在以为直径的圆的内部,
求实数的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率为,它的一个顶点为抛物线x2=4y的焦点.
(1)求椭圆方程;
(2)若直线yx-1与抛物线相切于点A,求以A为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程;
(3)若斜率为1的直线交椭圆于MN两点,求△OMN面积的最大值(O为坐标原点).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为,直线的参数方程为为参数,).
(1)化曲线的极坐标方程为直角坐标方程;
(2)若直线经过点,求直线被曲线截得的线段的长.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知抛物线Cy2=2px(p>0),M点的坐标为(12,8),N点在抛物线C上,且满足O为坐标原点.

(1)求抛物线C的方程;
(2)以M点为起点的任意两条射线l1l2的斜率乘积为1,并且l1与抛物线C交于AB两点,l2与抛物线C交于DE两点,线段ABDE的中点分别为GH两点.求证:直线GH过定点,并求出定点坐标.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知为椭圆上的三个点,为坐标原点.
(1)若所在的直线方程为,求的长;
(2)设为线段上一点,且,当中点恰为点时,判断的面积是否为常数,并说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知点分别是椭圆的左、右焦点, 点在椭圆上上.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设直线均与椭圆相切,试探究在轴上是否存在定点,点的距离之积恒为1?若存在,请求出点坐标;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

同步练习册答案