已知点分别是椭圆
的左、右焦点, 点
在椭圆上
上.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设直线若
、
均与椭圆
相切,试探究在
轴上是否存在定点
,点
到
的距离之积恒为1?若存在,请求出点
坐标;若不存在,请说明理由.
(1);(2)满足题意的定点
存在,其坐标为
或
解析试题分析:本题主要考查椭圆的定义和标准方程以及直线与椭圆的位置关系等数学知识,考查分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问,法一:利用焦点坐标求出,由于点
在椭圆上,得到方程
,又因为
三个参量的关系得
,联立,解出
,从而得到椭圆的方程;法二:利用椭圆的定义,
,利用两点间的距离公式计算得出
的值,从而得到椭圆的方程;第二问,直线
与椭圆联立,由于它们相切,所以方程只有一个根,所以
,同理直线
与椭圆联立得到表达式
,假设存在点
,利用点到直线的距离,列出表达式,将
代入整理,使得到的表达式,解出
的值,从而得到
点坐标.
试题解析:(1)法一:由,得
, 1分
2分
∴椭圆
的方程为
4分
法二:由,得
, 1分
3分
∴
∴椭圆的方程为
4分
(2)把的方程代入椭圆方程得
5分
∵直线与椭圆
相切,∴
,化简得
同理把
的方程代入椭圆方程也得:
7分
设在轴上存在点
,点
到直线
的距离之积为1,则
,即
, 9分
把代入并去绝对值整理,
或者
10分
前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的恒成立 则
,解得
;
综上所述,满足题意的定点存在,其坐标为
或
12分
考点:1.椭圆的标准方程;2.椭圆的定义;3.两点间的距离公式;4.点到直线的距离公式.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C的中心在原点,焦点在轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形F1B1 F2B2是一个面积为8的正方形.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点P的坐标为P(-4,0), 过P点的直线L与椭圆C相交于M、N两点,当线段MN的中点G落在正方形内(包含边界)时,求直线L的斜率的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线的顶点在坐标原点
,对称轴为
轴,焦点为
,抛物线上一点
的横坐标为2,且
.
(1)求抛物线的方程;
(2)过点作直线
交抛物线于
,
两点,求证:
.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的左、右焦点分别为
,离心率为
,P是椭圆上一点,且
面积的最大值等于2.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线y=2上是否存在点Q,使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C:的左、右焦点和短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过右焦点的直线
与椭圆C相交于A、B两点,若
,求直线
的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知是抛物线
上的两个点,点
的坐标为
,直线
的斜率为k,
为坐标原点.
(Ⅰ)若抛物线的焦点在直线
的下方,求k的取值范围;
(Ⅱ)设C为W上一点,且,过
两点分别作W的切线,记两切线的交点为
,求
的最小值.
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