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已知抛物线的焦点为,过点的直线交抛物线于点.
(Ⅰ)若(点在第一象限),求直线的方程;
(Ⅱ)求证:为定值(点为坐标原点).

(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析

解析试题分析:(Ⅰ)由抛物线的方程知焦点为,准线为。设,因为点在第一象限所以。由抛物线的定义可知等于点到抛物线准线的距离,即,可得,从而可求得点的坐标。由点和点可求直线的方程。(Ⅱ)可分直线斜率存在和不存在两种情况讨论,为了省去讨论也可直接设直线方程为,与抛物线联立方程,消去整理可得关于的一元二次方程,因为有两个交点即方程有两根,所以判别式应大于0。然后用韦达定理得根与系数的关系。用向量数量积公式求即可得证。
试题解析:解:(Ⅰ)设,由题意,.
在抛物线上,且
到准线的距离为.
.                                     2分

.
.
,                                              4分
直线的方程为,即.        5分
(Ⅱ)由题意可设直线的方程为:.
,即.          7分
显然恒成立.
,则                  9分

.
为定值.                                11分
考点:1抛物线的定义;2直线方程;3直线与抛物线的位置关系;4向量的数量积.

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知抛物线Cy2=2px(p>0),M点的坐标为(12,8),N点在抛物线C上,且满足O为坐标原点.

(1)求抛物线C的方程;
(2)以M点为起点的任意两条射线l1l2的斜率乘积为1,并且l1与抛物线C交于AB两点,l2与抛物线C交于DE两点,线段ABDE的中点分别为GH两点.求证:直线GH过定点,并求出定点坐标.

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已知动直线与椭圆交于两不同点,且△的面积=,其中为坐标原点.
(1)证明均为定值;
(2)设线段的中点为,求的最大值;
(3)椭圆上是否存在点,使得?若存在,判断△的形状;若不存在,请说明理由.

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(Ⅱ)设直线均与椭圆相切,试探究在轴上是否存在定点,点的距离之积恒为1?若存在,请求出点坐标;若不存在,请说明理由.

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已知椭圆的左、右焦点分别为,椭圆上的点满足,且的面积
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在直线,使与椭圆交于不同的两点,且线段恰被直线平分?若存在,求出的斜率取值范围;若不存在,请说明理由.

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(1)求椭圆的方程;
(2)若点B,C(C在第一象限)都在椭圆上,满足,且,求实数λ的值.

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已知抛物线C:,定点M(0,5),直线轴交于点F,O为原点,若以OM为直径的圆恰好过与抛物线C的交点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点M作直线交抛物线C于A,B两点,连AF,BF延长交抛物线分别于,求证: 抛物线C分别过两点的切线的交点Q在一条定直线上运动.

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已知椭圆的左、右焦点分别为为原点.
(1)如图1,点为椭圆上的一点,的中点,且,求点轴的距离;

(2)如图2,直线与椭圆相交于两点,若在椭圆上存在点,使四边形为平行四边形,求的取值范围.

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(13分) 已知椭圆C的中心在原点,离心率等于,它的一个短轴端点点恰好是抛物线 的焦点。

(1)求椭圆C的方程;
(2)已知P(2,3)、Q(2,-3)是椭圆上的两点,A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点,
①若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的最大值;
②当A、B运动时,满足,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由。

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