已知抛物线的焦点为,过点的直线交抛物线于点,.
(Ⅰ)若(点在第一象限),求直线的方程;
(Ⅱ)求证:为定值(点为坐标原点).
(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析
解析试题分析:(Ⅰ)由抛物线的方程知焦点为,准线为。设,因为点在第一象限所以且。由抛物线的定义可知等于点到抛物线准线的距离,即,可得,从而可求得点的坐标。由点和点可求直线的方程。(Ⅱ)可分直线斜率存在和不存在两种情况讨论,为了省去讨论也可直接设直线方程为,与抛物线联立方程,消去整理可得关于的一元二次方程,因为有两个交点即方程有两根,所以判别式应大于0。然后用韦达定理得根与系数的关系。用向量数量积公式求即可得证。
试题解析:解:(Ⅰ)设,由题意,且.
点在抛物线上,且,
点到准线的距离为.
,. 2分
又,,
.
.
, 4分
直线的方程为,即. 5分
(Ⅱ)由题意可设直线的方程为:.
由得,即. 7分
显然恒成立.
设,,则 9分
.
即为定值. 11分
考点:1抛物线的定义;2直线方程;3直线与抛物线的位置关系;4向量的数量积.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线C:y2=2px(p>0),M点的坐标为(12,8),N点在抛物线C上,且满足=,O为坐标原点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)以M点为起点的任意两条射线l1,l2的斜率乘积为1,并且l1与抛物线C交于A,B两点,l2与抛物线C交于D,E两点,线段AB,DE的中点分别为G,H两点.求证:直线GH过定点,并求出定点坐标.
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已知动直线与椭圆交于、两不同点,且△的面积=,其中为坐标原点.
(1)证明和均为定值;
(2)设线段的中点为,求的最大值;
(3)椭圆上是否存在点,使得?若存在,判断△的形状;若不存在,请说明理由.
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已知点分别是椭圆的左、右焦点, 点在椭圆上上.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设直线若、均与椭圆相切,试探究在轴上是否存在定点,点到的距离之积恒为1?若存在,请求出点坐标;若不存在,请说明理由.
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已知椭圆的左、右焦点分别为、,椭圆上的点满足,且的面积.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在直线,使与椭圆交于不同的两点、,且线段恰被直线平分?若存在,求出的斜率取值范围;若不存在,请说明理由.
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如图,已知椭圆的右顶点为A(2,0),点P(2e,)在椭圆上(e为椭圆的离心率).
(1)求椭圆的方程;
(2)若点B,C(C在第一象限)都在椭圆上,满足,且,求实数λ的值.
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已知抛物线C:,定点M(0,5),直线与轴交于点F,O为原点,若以OM为直径的圆恰好过与抛物线C的交点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点M作直线交抛物线C于A,B两点,连AF,BF延长交抛物线分别于,求证: 抛物线C分别过两点的切线的交点Q在一条定直线上运动.
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已知椭圆的左、右焦点分别为、,为原点.
(1)如图1,点为椭圆上的一点,是的中点,且,求点到轴的距离;
(2)如图2,直线与椭圆相交于、两点,若在椭圆上存在点,使四边形为平行四边形,求的取值范围.
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(13分) 已知椭圆C的中心在原点,离心率等于,它的一个短轴端点点恰好是抛物线 的焦点。
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知P(2,3)、Q(2,-3)是椭圆上的两点,A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点,
①若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的最大值;
②当A、B运动时,满足=,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由。
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