已知椭圆的左、右焦点分别为、,椭圆上的点满足,且的面积.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在直线,使与椭圆交于不同的两点、,且线段恰被直线平分?若存在,求出的斜率取值范围;若不存在,请说明理由.
(I)椭圆的方程为.(Ⅱ)存在满足题设条件的直线,且的斜率取值范围是
.
解析试题分析:(Ⅰ)由题意知:.,且,由此可求得,,二者相加即得,从而得椭圆的方程. (Ⅱ)假设这样的直线存在,且直线的方程为,设与椭圆的两交点为、,若线段恰被直线平分,则.这显然用韦达定理.由得.
由得.再用韦达定理得,代入得,再将此式代入得一只含的不等式,解此不等式即得的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)由题意知:, (1分)
椭圆上的点满足,且,
.
,.
. (2分)
又. (3分)
椭圆的方程为. (4分)
(Ⅱ)假设这样的直线存在.与直线相交,直线的斜率存在.
设的方程为, (5分)
由得.(*) (6分)
直线与椭圆有两个交点,
(*)的判别式,即.① (7分)
设、,则. (8分)
被直线平分,可知,
,. ② (9分)
把②代入①,得,即. (10分)
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设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆C:=1(a>b>0)上两点,已知m=,n=,若m·n=0且椭圆的离心率e=,短轴长为2,O为坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)试问△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
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抛物线在点,处的切线垂直相交于点,直线与椭圆相交于,两点.
(1)求抛物线的焦点与椭圆的左焦点的距离;
(2)设点到直线的距离为,试问:是否存在直线,使得,,成等比数列?若存在,求直线的方程;若不存在,请说明理由.
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已知椭圆C:的左、右焦点和短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过右焦点的直线与椭圆C相交于A、B两点,若,求直线的方程.
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如图,已知椭圆E的中心是原点O,其右焦点为F(2,0),过x轴上一点A(3,0)作直线与椭圆E相交于P,Q两点,且的最大值为.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设,过点P且平行于y轴的直线与椭圆E相交于另一点M,试问M,F,Q是否共线,若共线请证明;反之说明理由.
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如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线,设点,,为抛物线上的动点(异于顶点),连结并延长交抛物线于点,连结、并分别延长交抛物线于点、,连结,设、的斜率存在且分别为、.
(1)若,,,求;
(2)是否存在与无关的常数,是的恒成立,若存在,请将用、表示出来;若不存在请说明理由.
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