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已知椭圆的左、右焦点分别为,椭圆上的点满足,且的面积
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在直线,使与椭圆交于不同的两点,且线段恰被直线平分?若存在,求出的斜率取值范围;若不存在,请说明理由.

(I)椭圆的方程为.(Ⅱ)存在满足题设条件的直线,且的斜率取值范围是
.

解析试题分析:(Ⅰ)由题意知:.,且,由此可求得,二者相加即得,从而得椭圆的方程. (Ⅱ)假设这样的直线存在,且直线的方程为,设与椭圆的两交点为,若线段恰被直线平分,则.这显然用韦达定理.由
.再用韦达定理得,代入,再将此式代入得一只含的不等式,解此不等式即得的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)由题意知:,                       (1分)
椭圆上的点满足,且


.                           (2分)
.                          (3分)
椭圆的方程为.                           (4分)
(Ⅱ)假设这样的直线存在.与直线相交,直线的斜率存在.
的方程为,                               (5分)
.(*)     (6分)
直线与椭圆有两个交点,
(*)的判别式,即.①  (7分)
,则.          (8分)
被直线平分,可知
. ②            (9分)
把②代入①,得,即.     (10分)

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(1)求证:
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