设,分别是椭圆:的左、右焦点,过作倾斜角为的直线交椭圆于,两点, 到直线的距离为,连结椭圆的四个顶点得到的菱形面积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆的左顶点作直线交椭圆于另一点, 若点是线段垂直平分线上的一点,且满足,求实数的值.
(1)椭圆的方程为;(2)满足条件的实数的值为或.
解析试题分析:(1)利用椭圆的几何性质及到直线的距离为,建立的方程组即得;
(2)由(1)知:, 设
根据题意可知直线的斜率存在,可设直线斜率为,则直线的方程为
把它代入椭圆的方程,消去,整理得:
应用韦达定理以便于确定线段的中点坐标为.
讨论当,的情况,确定的值.
试题解析:(1)设,的坐标分别为,其中
由题意得的方程为:
因到直线的距离为,所以有,解得 1分
所以有 ①
由题意知: ,即 ②
联立①②解得:
所求椭圆的方程为 5分
(2)由(1)知:, 设
根据题意可知直线的斜率存在,可设直线斜率为,则直线的方程为
把它代入椭圆的方程,消去,整理得:
由韦达定理得,则,,
,线段的中点坐标为 7分
(ⅰ)当时, 则有,线段垂直平分线为轴
于是
由,解得: 9分
(ii)因为点是线段垂直平分线的一点,
令,得:,于是
由,解得:
代入,解得:
综上, 满足条件的实数的值为
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,一条准线l:x=2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设O为坐标原点,M是l上的点,F为椭圆C的右焦点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆D交于P,Q两点.
①若PQ=,求圆D的方程;
②若M是l上的动点,求证点P在定圆上,并求该定圆的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的一点,=λ,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知椭圆的离心率是,分别是椭圆的左、右两个顶点,点是椭圆的右焦点。点是轴上位于右侧的一点,且满足.
(1)求椭圆的方程以及点的坐标;
(2)过点作轴的垂线,再作直线与椭圆有且仅有一个公共点,直线交直线于点.求证:以线段为直径的圆恒过定点,并求出定点的坐标.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
若两个椭圆的离心率相等,则称它们为“相似椭圆”.如图,在直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:=1,A1,A2分别为椭圆C1的左、右顶点.椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”.
(1)求椭圆C2的方程;
(2)设P为椭圆C2上异于A1,A2的任意一点,过P作PQ⊥x轴,垂足为Q,线段PQ交椭圆C1于点H.求证:H为△PA1A2的垂心.(垂心为三角形三条高的交点)
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点.若直线AO、BO分别交直线l:y=x-2于M、N两点,求|MN|的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,焦距为的椭圆的两个顶点分别为和,且与n,共线.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与椭圆有两个不同的交点和,且原点总在以为直径的圆的内部,
求实数的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知为椭圆上的三个点,为坐标原点.
(1)若所在的直线方程为,求的长;
(2)设为线段上一点,且,当中点恰为点时,判断的面积是否为常数,并说明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com