已知是二次函数,不等式的解集是(0,5),且f(x)在区间[-1,4]上的最大值是12.
(1)求的解析式;
(2)是否存在自然数m,使得方程=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出所有m的值;若不存在,请说明理由.
(1)
(2)存在唯一的自然数m=3,使得方程在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根.
解析试题分析:(1)为求函数的解析式,可根据是二次函数,且的解集是(0,5),
设出应用“待定系数法”.
(2)首先注意到方程=0等价于方程,从而,可通过研究函数
达到解题目的.
具体地,通过“求导数、求驻点、讨论导数的正负、确定函数的单调区间”,认识方程的根分布情况.
试题解析:
(1)∵是二次函数,且的解集是(0,5),
∴可设.
∴在区间[-1,4]上的最大值是.
由已知,得 5分
(2)方程=0等价于方程
设
则. 7分
当x∈时,,因此在此区间上是减少的;
当x∈时,,因此是在此区间上是增加的.
∵h(3)=1>0,h=<0,h(4)=5>0, 10分
∴方程=0在区间,内分别有唯一实数根,而在区间(0,3),(4,+∞)内没有实数根,
∴存在唯一的自然数m=3,使得方程在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根. 12分
考点:待定系数法,应用导数研究函数的单调性,函数方程.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数,是大于零的常数.
(Ⅰ)当时,求的极值;
(Ⅱ)若函数在区间上为单调递增,求实数的取值范围;
(Ⅲ)证明:曲线上存在一点,使得曲线上总有两点,且成立.
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