Question

（1）求函数f（x）=e^x在x=0处的切线方程．
（2）x∈R，证明不等式e^x≥x+1．

Answer 1

分析：（1）斜率k=f′（0），利用点斜式即可求得切线方程；
（2）令g（x）=e^x-x-1，只需用导数证明g（x）_min≥0．

解答：解：（1）f′（x）=e^x，k=f′（0）=1，
所以切线方程为y=x+1；
（2）设g（x）=e^x-x-1，则g′（x）=e^x-1，
由g′（x）＞0得x＞0，由g′（x）＜0得x＜0，
所以g（x）在（-∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增，
所以在x=0处g（x）取得极小值，也为最小值，即g（x）≥g（0）=0，
所以e^x≥x+1．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程及函数的最值问题，考查函数恒成立问题，函数恒成立往往转化为函数最值解决．