Question

已知关于x的不等式（ax-a²-4）（x-4）＞0的解集为A，且A中共含有n个整数，则n最小值为

7

．

Answer 1

分析：对a分a＜0，a=0与a＞0三种情况讨论，可求得解集A，即可求得最小值集合A中元素最少是的n．

解答：解：当a＜0时，（x-

a2+4

a

）（x-4）＜0，
∵a＜0，
∴-a＞0，
∴-a-

4

a

≥2

(-a)•(- 4 a )

=4（当且仅当a=-2时取等号），
∴-4≤a+

4

a

＜0，
故解集为A=（a+

4

a

，4），A中共含有：-3，-2，-1，0，1，2，3，共7个整数；
a=0时，-4（x-4）＞0，解集为A=（-∞，4），整数解有无穷多，故a=0不符合条件；
a＞0时，（x-

a2+4

a

）（x-4）＞0，同理可证a+

4

a

≥4，
∴解集A为（a+

4

a

，+∞）∪（-∞，4），整数解有无穷多，故a＞0不符合条件；
综上：n最小值为7．
故答案为：7．

点评：本题考查一元二次不等式的解法，突出考查分类讨论思想及方程思想，属于中档题．