Question

18．已知函数$f（x）=2lnx（\frac{1}{e}≤x≤{e^2}）$，g（x）=mx+2，若f（x）与g（x）的图象上存在关于直线y=1对称的点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． $[-\frac{2}{3}，-\frac{4}{e^2}]$
• B． $[-\frac{2}{e}，2e]$
• C． $[-\frac{4}{e^2}，2e]$
• D． $[-\frac{4}{e^2}，+∞]$

Answer 1

分析 求出g（x）关于直线y=1的对称函数h（x），令f（x）与h（x）的图象有交点得出m的范围．

解答 解：g（x）=mx+2关于直线y=1对称的直线为y=-mx，
∴直线y=-mx与y=2lnx在[$\frac{1}{e}$，e²]上有交点．
作出y=-mx与y=2lnx的函数图象，如图所示：

若直线y=-mx经过点（$\frac{1}{e}$，-2），则m=2e，
若直线y=-mx与y=2lnx相切，设切点为（x，y）．
则$\left\{\begin{array}{l}{y=-mx}\\{y=2lnx}\\{\frac{2}{x}=-m}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=e}\\{y=2}\\{m=-\frac{2}{e}}\end{array}\right.$．
∴-$\frac{2}{e}$≤m≤2e．
故选B．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．