Question

已知数列{a_n}为等差数列，a₁=1，公差d＞0，数列{b_n}为等比数列，且a₂=b₁，a₆=b₂，a₁₈=b₃．
（1）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足对任意正整数n均有

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=

1

2

a_n²，m为正整数，求所有满足不等式10²＜c₁+c₂+…+c_m＜10³的m的值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差数列的性质,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已条条件推导出8d²-8a₁d=0，由d＞0，a₁=1，{a_n}为等差数列，得a_n=n，从而b₁=2，b₂=6，b₃=18，{b_n}为等比数列，由此能求出bn=2•3n-1．
（2）由

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=

1

2

n2，得cn=(2n-1)•3n-1，由此能求出m=4，或m=5．

解答： 解：（1）由已知a₂，a₆，a₁₈成等比数列，
∴a62=a2a18，(a1+5d)2=(a1+d)(a1+17d)，
8d²-8a₁d=0…（2分）
由d＞0，a₁=1，{a_n}为等差数列，
∴a₁=d=1，a_n=n，…（4分）
又b₁=2，b₂=6，b₃=18，{b_n}为等比数列，
∴bn=2•3n-1．…（7分）
（2）∵

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=

1

2

n2，
∴当n=1时，

c1

b1

=

1

2

，∴c₁=1…（8分）
当n≥2时，

c1 b1 +…+ cn-1 bn-1 + cn bn = 1 2 n2 c1 b1 +…+ cn-1 bn-1 = 1 2 (n-1)2

，
相减得cn=(2n-1)•3n-1
综合得cn=(2n-1)•3n-1…（10分）
cn=(2n-1)•3n-1＞0，c1=1，c1+c2=10，
c₁+c₂+c₃=55，c₁+c₂+c₃+c₄=244c₁+c₂+c₃+c₄+c₅=973，
c₁+c₂+c₃+c₄+c₅+c₆=3646，
∴m=4，或m=5．…（13分）

点评：本题考查数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式的求法，考查所有满足不等式10²＜c₁+c₂+…+c_m＜10³的m的值的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．