Question

已知数列，满足，，且对任意的正整数，和均成等比数列.
（1）求、的值；
（2）证明：和均成等比数列；
（3）是否存在唯一正整数，使得恒成立？证明你的结论.

Answer 1

（1），；（2）详见解析；（3）详见解析.

试题分析：本题考查数列的求值，等比数列的证明和研究不等式的恒成立问题.（1）通过题设条件给出的数列关系，求出数列的初始值；（2）根据等比数列的定义，分别得到证明，其中应说明第一项不为零；（3）探求是否存在唯一的正整数使得恒成立分两步求解，先通过数列，的单调性得到，再证明证整数时唯一的，求解有关数列的综合问题，主要是要明确解题方向，合理利用数列的相关性质化难为易，化繁为简，同时还要注意解题步骤的规范性和严谨性.
试题解析：（1）依题意，；
（2）证明：依题意，对任意正整数有，即，
，
又，数列是首项为，公比为的等比数列，
，又，
数列是首项为，公比为的等比数列.
（3）由（2）得，解得，显然，数列是单调递增的数列，是单调递减的数列，即存在正整数，使得对任意的，有，
又令得，而，，，
，解得，即对任意的且时，，
正整数也是唯一的.
综上所述，存在唯一的正整数，使得对任意的，有.