Question

已知数列中，，，.
（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）在数列中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；
（3）若且，，求证：使得，，成等差数列的点列在某一直线上.

Answer 1

（1）详见解析；（2），，成等差数列；（3）详见解析.

试题分析：（1）证明一个数列为等比或等差数列，一般都是从定义入手，本小题首先需要将已知条件变形为，由于，则（常数），然后根据等比数列的定义可知数列是以为首项，公比为的等比数列，即（）；
（2）本小题首先假设在数列中存在连续三项，，（，）成等差数列，则，代入通项公式可得，即，，成等差数列.
（3）本小题首先根据，，成等差数列，则，于是可得，然后通过不定方程的分类讨论可得结论
试题解析：（1）将已知条件变形为  1分
由于，则（常数）  3分
即数列是以为首项，公比为的等比数列  4分
所以，即（）。  5分
（2）假设在数列中存在连续三项成等差数列，
不妨设连续的三项依次为，，（，），
由题意得，，
将，，代入上式得  7分
      8分
化简得，，即，得，解得
所以，存在满足条件的连续三项为，，成等差数列。  10分
（3）若，，成等差数列，则
即，变形得  11分
由于若，且，下面对、进行讨论：
① 若，均为偶数，则，解得，与矛盾，舍去；
② 若为奇数，为偶数，则，解得；
③ 若为偶数，为奇数，则，解得，与矛盾，舍去；
④ 若，均为奇数，则，解得，与矛盾，舍去；  15分
综上①②③④可知，只有当为奇数，为偶数时，，，成等差数列，此时满足条
件点列落在直线（其中为正奇数）上。  16分（不写出直线方程扣1分）