Question

设f（x）为定义域为R的函数，对任意x∈R，都满足：f（x+1）=f（x-1），f（1-x）=f（1+x），且当x∈[0，1]时，f（x）=3^x-3^-x．
（1）请指出f（x）在区间[-1，1]上的奇偶性、单调区间、最大（小）值和零点，并运用相关定义证明你关于单调区间的结论；
（2）试证明f（x）是周期函数，并求其在区间[2k-1，2k]（k∈Z）上的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）f（x+1）=f（x-1），f（1-x）=f（1+x）⇒f（x-1）=f（1-x），从而可得函数为偶函数，且关于x=1对称，当x∈[0，1]时，f（x）=3^x-3^-x在x∈[0，1]时，单调递增，从而可得函数单调递增区间：[0，1]；单调递减区间：[-1，0]；零点：x=0；单调区间的证明的证明可以利用定义证明可先证明在[0，1]上单调性，要证明f（x）在区间[-1，0]上是递减函数时，
（法一）：利用定义法，任取的x₁，x₂∈[-1，0]，x₁＜x₂，通过判断判定 f（x₁）-f（x₂）的符号来判定f（x₁）与f（x₂）大小，进而判定函数的单调性
（法二）：根据偶函数的性质可知，偶函数在对称区间上的单调性相反，由于f（x）在[0，1]上单调递增，故可证函数在[-1，0]上单调递减
（2）由f（x+2）=f[（1+x）+1]=f[（1+x）-1]=f（x）可得2是f（x）周期，当x∈[2k-1，2k]时，2k-x∈[0，1]，代入可得f（x）=f（-x）=f（2k-x）=3^2k-x-3^x-2k
解答：解：（1）偶函数；．（1分）  最大值为、最小值为0；..（1分）
单调递增区间：[0，1]；单调递减区间：[-1，0]；（1分）
零点：x=0．（1分）
单调区间证明：
当x∈[0，1]时，f（x）=3^x-3^-x．
设x₁，x₂∈[0，1]，x₁＜x₂，=
证明f（x）在区间[0，1]上是递增函数
由于函数y=3^x是单调递增函数，且3^x＞0恒成立，
所以，，∴f（x₁）-f（x₂）＜0
所以，f（x）在区间[0，1]上是增函数．（4分）
证明f（x）在区间[-1，0]上是递减函数
【证法一】因为f（x）在区间[-1，1]上是偶函数．
对于任取的x₁，x₂∈[-1，0]，x₁＜x₂，有-x₁＞-x₂＞0f（x₁）-f（x₂）=f（-x₁）-f（-x₂）＞0
所以，f（x）在区间[-1，0]上是减函数（4分）
【证法二】设x∈[-1，0]，由f（x）在区间[-1，1]上是偶函数，得f（x）=f（-x）=3^-x-3^x．
以下用定义证明f（x）在区间[-1，0]上是递减函数..（4分）
（2）设x∈R，f（x+2）=f[（1+x）+1]=f[（1+x）-1]=f（x），
所以，2是f（x）周期．（4分）
当x∈[2k-1，2k]时，2k-x∈[0，1]，
所以f（x）=f（-x）=f（2k-x）=3^2k-x-3^x-2k..（4分）
点评：本题是一道综合了函数的对称性、周期性、奇偶性、单调性、及函数解析式的求解等知识的综合应用的试题，要求考生熟练掌握基础知识，并能运用知识解决综合问题的逻辑推理的能力．